条件概率是指在已知一个事件B已经发生的条件下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率的定义：\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)，其中P(B) > 0。
条件概率表示的是在B事件发生的情况下，A事件发生的概率。
计算条件概率的步骤：
1. 确定事件A和事件B
2. 计算事件B的概率P(B)
3. 计算事件A和事件B的交集概率P(A ∩ B)
4. 使用公式 \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) 计算条件概率
如果事件A和事件B是独立的，则：\(P(A|B) = P(A)\) 且 \(P(B|A) = P(B)\)
独立性的定义：\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
检验两个事件是否独立的方法：计算P(A|B)，如果P(A|B) = P(A)，则A和B独立。
1. \(0 \leq P(A|B) \leq 1\)
2. \(P(S|B) = 1\)，其中S是样本空间
3. \(P(\emptyset|B) = 0\)，其中∅是空集
4. 如果A₁, A₂, ..., Aₙ是互不相容的事件，则 \(P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B) + ... + P(A_n|B)\)
条件概率在现实生活中有广泛的应用，如医学诊断、天气预报、风险评估等。
在解决概率问题时，条件概率可以帮助我们处理复杂的情况，特别是当我们需要考虑已知某些信息后的概率变化。
条件概率是贝叶斯定理的基础，贝叶斯定理用于计算在已知结果的情况下原因的概率。
Conditional Probability (条件概率)：在已知一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
Independent Events (独立事件)：一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率的事件。
Dependent Events (相依事件)：一个事件的发生会影响另一个事件发生的概率的事件。
Joint Probability (联合概率)：两个或多个事件同时发生的概率，记作P(A ∩ B)。
Bayes' Theorem (贝叶斯定理)：用于计算在已知结果的情况下原因的概率的定理。
Prior Probability (先验概率)：在获得新信息之前对事件的概率估计。
Posterior Probability (后验概率)：在获得新信息之后对事件的概率估计。
一个袋子中有5个红球和3个蓝球。随机抽取两个球（不放回），求：
(a) 第二个球是红球的概率。
(b) 在已知第一个球是蓝球的条件下，第二个球是红球的概率。
(a) 第二个球是红球的概率：
总共有8个球，其中5个红球和3个蓝球。
第一个球可能是红球或蓝球：
- 如果第一个球是红球（概率为5/8），则第二个球是红球的概率为4/7。
- 如果第一个球是蓝球（概率为3/8），则第二个球是红球的概率为5/7。
因此，第二个球是红球的概率为：
\(P(\text{第二个球是红球}) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8}\)
(b) 在已知第一个球是蓝球的条件下，第二个球是红球的概率：
这是一个条件概率问题，我们需要计算P(第二个球是红球|第一个球是蓝球)。
当第一个球是蓝球时，袋子中剩下5个红球和2个蓝球，共7个球。
因此，在已知第一个球是蓝球的条件下，第二个球是红球的概率为：
\(P(\text{第二个球是红球}|\text{第一个球是蓝球}) = \frac{5}{7}\)
某学校有60%的学生学习数学，30%的学生学习物理，20%的学生同时学习数学和物理。
(a) 求一个学习数学的学生也学习物理的概率。
(b) 求一个学习物理的学生也学习数学的概率。
(c) 学习数学和学习物理这两个事件是否独立？
设事件M表示学生学习数学，事件P表示学生学习物理。
已知：P(M) = 0.6，P(P) = 0.3，P(M ∩ P) = 0.2
(a) 一个学习数学的学生也学习物理的概率：
这是条件概率P(P|M)，根据条件概率公式：
\(P(P|M) = \frac{P(M \cap P)}{P(M)} = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \approx 0.333\)
因此，一个学习数学的学生也学习物理的概率是1/3。
(b) 一个学习物理的学生也学习数学的概率：
这是条件概率P(M|P)，根据条件概率公式：
\(P(M|P) = \frac{P(M \cap P)}{P(P)} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3} \approx 0.667\)
因此，一个学习物理的学生也学习数学的概率是2/3。
(c) 学习数学和学习物理这两个事件是否独立：
如果两个事件独立，则P(M ∩ P) = P(M) × P(P)
计算P(M) × P(P) = 0.6 × 0.3 = 0.18
而P(M ∩ P) = 0.2 ≠ 0.18
因此，学习数学和学习物理这两个事件不是独立的。
另一种检验方法是比较P(P|M)和P(P)：
P(P|M) = 1/3 ≠ P(P) = 0.3
这也表明两个事件不是独立的。
一个盒子中有4个白球和6个黑球。随机抽取两个球（不放回），求：
(a) 两个球都是白球的概率。
(b) 在已知第一个球是白球的条件下，第二个球也是白球的概率。
(c) 在已知至少有一个球是白球的条件下，两个球都是白球的概率。
某城市的天气记录显示，如果今天下雨，那么明天下雨的概率是0.7；如果今天晴天，那么明天下雨的概率是0.2。已知该城市下雨天的比例为30%。
(a) 求今天和明天都下雨的概率。
(b) 求今天晴天而明天下雨的概率。
(c) 求明天下雨的概率。
(d) 如果明天下雨，求今天也下雨的概率。
(a) 两个球都是白球的概率：
总共有10个球，其中4个白球和6个黑球。
第一个球是白球的概率为4/10。
在第一个球是白球的条件下，第二个球是白球的概率为3/9。
因此，两个球都是白球的概率为：
\(P(\text{两个球都是白球}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0.133\)
(b) 在已知第一个球是白球的条件下，第二个球也是白球的概率：
这是条件概率P(第二个球是白球|第一个球是白球)。
当第一个球是白球时，盒子中剩下3个白球和6个黑球，共9个球。
因此，在已知第一个球是白球的条件下，第二个球也是白球的概率为：
\(P(\text{第二个球是白球}|\text{第一个球是白球}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0.333\)
(c) 在已知至少有一个球是白球的条件下，两个球都是白球的概率：
这是条件概率P(两个球都是白球|至少有一个球是白球)。
首先，计算至少有一个球是白球的概率：
\(P(\text{至少有一个球是白球}) = 1 - P(\text{两个球都是黑球}) = 1 - \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = 1 - \frac{30}{90} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.667\)
然后，使用条件概率公式：
\(P(\text{两个球都是白球}|\text{至少有一个球是白球}) = \frac{P(\text{两个球都是白球})}{P(\text{至少有一个球是白球})} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{15} \times \frac{3}{2} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0.2\)
设事件R₁表示今天下雨，R₂表示明天下雨。
已知：P(R₁) = 0.3，P(R₂|R₁) = 0.7，P(R₂|R₁') = 0.2
(a) 今天和明天都下雨的概率：
\(P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = 0.3 \times 0.7 = 0.21\)
(b) 今天晴天而明天下雨的概率：
\(P(R_1' \cap R_2) = P(R_1') \times P(R_2|R_1') = (1 - 0.3) \times 0.2 = 0.7 \times 0.2 = 0.14\)
(c) 明天下雨的概率：
\(P(R_2) = P(R_1 \cap R_2) + P(R_1' \cap R_2) = 0.21 + 0.14 = 0.35\)
(d) 如果明天下雨，求今天也下雨的概率：
这是条件概率P(R₁|R₂)，根据条件概率公式：
\(P(R_1|R_2) = \frac{P(R_1 \cap R_2)}{P(R_2)} = \frac{0.21}{0.35} = 0.6\)
因此，如果明天下雨，今天也下雨的概率是0.6。